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Modele de gerbe

Cela a été conçu plus tard en termes de structure de modèle sur des préfaisceaux simplicielles et sur des poulies simplicielles de Joyal et Jardine. Toën résume la situation et met l`accent sur l`interprétation en termes de ∞-Stacks vivant dans (∞, 1) (infty, 1)-catégories par exemple dans il y a une structure de catégorie de modèle sur la catégorie supérieure/XTop/X avec des équivalences faibles et la fibration précisément ceux morphismes Y → ZY To Z sur XX de telle sorte que, pour chaque U, le morphisme induit X (Y, U) → Sing X (Z, U) Sing_X (Y, u) To Sing_X (Z, U) est une faible équivalence ou fibration, respectivement, dans la structure de modèle standard sur les ensembles simpliciaux. Les localisations topologiques d`une (∞, 1)-catégorie de (∞, 1)-préfaisceaux sont présentées par la localisation de Bousfield gauche de la structure globale de modèle sur des préfaisceaux simplicial à l`ensemble des couvertures de Cech. Write (Top/X) ∘ (Top/X) ^ circ pour la catégorie (∞, 1) présentée par cette structure de modèle. la relation entre le Brown? Joyal? Le modèle de Jardine et l`histoire générale sont discutés longuement dans la section 6.5.4 si DD est une sous-catégorie complète, alors la deuxième condition est automatique. Si un ≃ iA ^ A simeq i hat A, puis par le (L ⊣ i) (L dashv i)-adjunction isomorphisme nous avons ceci est une version relative du singulier complexe simplicial functor. Les (∞, 1)-poses qui sont (∞, 1) (infty, 1)-catégories de gerbes, c.-à-d. qui se posent par localisation topologique à partir d`une catégorie (∞, 1) de (∞, 1)-presheaves, jouissent d`un certain nombre de propriétés spéciales par rapport aux autres classes de (∞, 1) (infty, 1)-poses, telles que notamment hypercomplete (∞, 1)-pose. La construction de (∞, 1)-Sheaf (∞, 1)-poses sur une locale donnée est singularée sur la construction d`autres types de (∞, 1) (infty, 1)-les poses (telles que l`hypercompléte (∞, 1)-poses) par la propriété universelle suivante: mais si {x i} i x_i } _ {i in i} est un ensemble de points d`un topos pour SH (C) SH (mathcal{C}) tels que ces points sont suffisants (def.) alors le morphisme FF est EPI/mono/ISO précisément, il est donc un toutes les tiges, donc précisément si alors SH (∞, 1) (X): = SH (∞, 1) (op (X)) Sh_ {(infty , 1)} (X): = Sh_ {(infty, 1)} (op (X)) est généré de manière compacte en ce qu`il est généré par des colimites filtrées d`objets compacts.

FF est un épimorphisme précisément si elle est si localement, en ce que: pour tous les U UCU in C il ya une couverture {p i:U i → U} i p_i i {: U_i To U } _ {i in i} de telle sorte que pour tous les i, i et i et tous les éléments y (u) y in Y (U) l`élément f (p i) (y) f (p_i) (y) est à l`image de f (U i): X (U i) → Y (U i) f (U_i): X (U_i) To Y (U_i). Ainsi, chaque monomorphisme en SS est généré à partir de S 0S_0, mais par l`hypothèse que SS est topologique, il est lui-même entièrement généré à partir de monomorphismes, donc est généré à partir de S 0S_0. Comme SH (c) SH (c) est la localisation réflectuive de PSh (C) PSh (C) pour couvrir les monomorphismes, il est clair que si p:U → j (c) p: U To j (c) est couvert, alors L (p) L (p) est une équivalence. Par l`hypothèse que II est un functor plein et fidèle et les propriétés de base des fonctors adjoints, nous habe que le counit catégories de gerbes sont des exemples de catégories qui sont poses: ils sont les poses Grothendieck caractérisé parmi toutes les poses que ceux satisfaisant les axiomes de Giraud. Un morphisme f:x → YF: x To Y est en WW précisément si pour chaque morphisme z:j (c) → YZ: j (c) To y avec le domaine représentable, le recul z * FZ ^ * f en supposant d`abord que FF est en ww. Puisque par hypothèse ll préserve des limites finies, il s`ensuit que Peter Johnstone, sections A. 4 et C. 2 dans croquis d`un éléphant inversement, supposons que tous ces reculs sont en ww.

Ensuite, utilisez le ”co-Yoneda Lemma” pour écrire le préfaisceau YY comme une colimite sur tous les représentables mappage dans lui Let XX être un paramètre régional avec Frame op (X) op (X) considéré comme un site avec la couverture canonique ({u i → u} {u_i To U } couvre si la jointure de l`u iU_i est uu). Let bOp (x) bOp (X) être une base pour la topologie de XX: une jointure complète-semilattice de telle sorte que chaque objet de op (X) op (X) est la jointure des objets de bOp (x) bOp (x). Puis bOp (X) bOp (X) est un sous-site dense.